Question

如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4=2 2 ﹣0 2 ，12=4 2

如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4=2 2 ﹣0 2 ，12=4 2 ﹣2 2 ，20=6 2 ﹣4 2 ，因此4，12，20都是“神秘数”（1）28和2 012这两个数是“神秘数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方数（取正数）是神秘数吗？为什么？

Answer 1

解：（1）28=4×7=8 2 ﹣6 2 ；2012=4×503=504 2 ﹣502 2 ， 所以是神秘数． （2）（2k+2） 2 ﹣（2k） 2 =（2k+2﹣2k）（2k+2+2k）=4（2k+1）， ∴由2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数． （3）设两个连续奇数为2k+1和2k﹣1， 则（2k+1） 2 ﹣（2k﹣1） 2 =8k， ∴两个连续奇数的平方差不是神秘数．