Question

如图，△ABC是边长为l的等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的

如图，△ABC是边长为l的等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB于M，交AC于N，连接MN，形成一个三角形，求证：△AMN的周长等于2．

Answer 1

证明：如图，在AC延长线上截取CM₁=BM，
∵△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ABD=∠ACD=90°，
∴∠DCM₁=90°，
∵BD=CD，
∵在△BDM和△CDM₁中，

BD＝CD ∠ABD＝∠DCM1＝90° CM1＝BM

，
∴△BDM≌△CDM₁（SAS），
得MD=M₁D，∠MDB=∠M₁DC，
∴∠MDM₁=120°-∠MDB+∠M₁DC=120°，
∴∠NDM₁=60°，
在△MDN和△M₁DN中，
∵

DM＝M1D ∠MDN＝∠NDM1 DN＝DN

，
∴△MDN≌△M₁DN（SAS），
∴MN=NM₁，
故△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+AN+NM₁=AM+AM₁=AB+AC=2．