Question

已知函数f（x）=（x+1）lnx．（1）求f（x）在x=1处的切线方程；（2）设 g(x)= 1 a(1-x) f(x) ，

已知函数f（x）=（x+1）lnx．（1）求f（x）在x=1处的切线方程；（2）设 g(x)= 1 a(1-x) f(x) ，对任意x∈（0，1），g（x）＜-2，求实数a的取值范围．

Answer 1

（本小题满分12分） （1）函数f（x）=（x+1）lnx定义域为（0，+∞），…（1分） ∵ f ′ (x)=lnx+ 1+x x ， ∴f′（1）=2，且切点为（1，0）…（4分） 故f（x）在x=1处的切线方程y=2x-2．…-（6分） （2）由已知a≠0，因为x∈（0，1）， 所以 1+x 1-x ?lnx＜0 ． ①当a＜0时，g（x）＞0，不合题意．…（8分） ②当a＞0时，x∈（0，1）， 由g（x）＜-2，得lnx+ 2a(1-x) 1+x ＜0 ． 设 h(x)=lnx+ 2a(1-x) 1+x ， 则x∈（0，1），h（x）＜0. h ′ (x)= x 2 +(2-4a)x+1 x(1+x ) 2 ． 设m（x）=x 2 +（2-4a）x+1， 方程m（x）=0的判别式△=16a（a-1）． 若a∈（0，1]，△≤0，m（x）≥0，h′（x）≥0， h（x）在（0，1）上是增函数，又h（1）=0， 所以x∈（0，1），h（x）＜0．…（10分） 若a∈（1，+∞），△＞0，m（0）=1＞0，m（1）=4（1-a）＜0， 所以存在x 0 ∈（0，1），使得m（x 0 ）=0， 对任意x∈（x 0 ，1），m（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）在（x 0 ，1）上是减函数， 又h（1）=0，所以x∈（x 0 ，1），h（x）＞0． 综上，实数a的取值范围是（0，1]．…（12分）