Question

如图，在四棱锥 P-ABCD 中，平面 PAC ⊥平面 ABCD ，且 PA ⊥ AC ， PA ＝ AD ＝2.四边形 ABCD 满足 BC

如图，在四棱锥 P-ABCD 中，平面 PAC ⊥平面 ABCD ，且 PA ⊥ AC ， PA ＝ AD ＝2.四边形 ABCD 满足 BC ∥ AD ， AB ⊥ AD ， AB ＝ BC ＝1.点 E ， F 分别为侧棱 PB ， PC 上的点，且 ＝ λ . (1)求证： EF ∥平面 PAD .(2)当 λ ＝ 时，求异面直线 BF 与 CD 所成角的余弦值；(3)是否存在实数 λ ，使得平面 AFD ⊥平面 PCD ？若存在，试求出 λ 的值；若不存在，请说明理由．





Answer 1

（1）见解析（2） （3）存在， λ ＝

(1)证明:由已知 ＝ λ ，∴ EF ∥ BC ，又 BC ∥ AD ，∴ EF ∥ AD ，而 EF ?平面 PAD ， AD ?平面 PAD ， ∴ EF ∥平面 PAD . (2)解　因为平面 ABCD ⊥平面 PAC ，平面 ABCD ∩平面 PAC ＝ AC ，且 PA ⊥ AC ，∴ PA ⊥平面 ABCD .∴ PA ⊥ AB ， PA ⊥ AD .又∵ AB ⊥ AD ， ∴ PA ， AB ， AD 两两垂直． 如图所示，建立空间直角坐标系 ∵ AB ＝ BC ＝1， PA ＝ AD ＝2， ∴ A (0,0,0)， B (1,0,0)， C (1,1,0)， D (0,2,0)， P (0,0,2)，当 λ ＝ 时， F 为 PC 中点， ∴ F ，∴ ＝ ， ＝(－1,1,0)，设异面直线 BF 与 CD 所成的角为 θ ，∴cos θ ＝|cos〈 ， 〉|＝ ＝ .故异面直线 BF 与 CD 所成角的余弦值为 . (3)解:设 F ( x 0 ， y 0 ， z 0 )，则 ＝( x 0 ， y 0 ， z 0 －2)， ＝(1,1，－2)，又 ＝ λ ∴ ∴ ＝( λ ， λ ，2－2 λ )， 设平面 AFD 的一个法向量为 m ＝( x 1 ， y 1 ， z 1 )，则 即 令 z 1 ＝ λ ，得 m ＝(2 λ －2,0， λ )． 设平面 PCD 的一个法向量为 n ＝( x 2 ， y 2 ， z 2 )．则 即 取 y 2 ＝1，则 x 2 ＝1， z 2 ＝1，∴ n ＝(1,1,1)， 由 m ⊥ n ，得 m · n ＝(2 λ －2,0， λ )·(1,1,1)＝2 λ －2＋ λ ＝0，解得 λ ＝ .