Question

在如图所示的几何体中,四边形ABCD为平行四边形,∠ACB=90°,EA⊥平面ABCD,EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,AB=2EF.若

在如图所示的几何体中,四边形ABCD为平行四边形,∠ACB=90°,EA⊥平面ABCD,EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,AB=2EF.若M是线段AD的中点, 求证:GM∥平面ABFE.

Answer 1

见解析

证明：方法一:因为EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,∠ACB=90°, 所以∠EGF=90°, △ABC∽△EFG. 由于AB=2EF,因此BC=2FG. 连接AF,由于FG∥BC,FG= BC, 在?ABCD中,M是线段AD的中点,则AM∥BC, 且AM= BC,因此FG∥AM且FG=AM, 所以四边形AFGM为平行四边形,因此GM∥FA. 又FA?平面ABFE,GM?平面ABFE, 所以GM∥平面ABFE. 方法二:因为EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,∠ACB=90°, ∴∠EGF=90°, △ABC∽△EFG. 由于AB=2EF,∴BC=2FG. 取BC的中点N,连接GN, 因此四边形BNGF为平行四边形,所以GN∥FB. 在?ABCD中,M是线段AD的中点,连接MN, 则MN∥AB. ∵MN∩GN=N,∴平面GMN∥平面ABFE. 又GM?平面GMN,∴GM∥平面ABFE.