Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=12，BC=21，AD=16．动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=12，BC=21，AD=16．动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点D出发，在线段DA上以每秒1个单位长的速度向点A运动，点P、Q分别从点B、D同时出发，当点Q运动到点A时，点P随之停止运动，设运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，P、Q两点之间的距离是13？（2）当t为何值时，以P、Q、C、D为顶点的四边形为平行四边形？（3）是否存在某一时刻t，使直线PQ恰好把直角梯形ABCD的周长和面积同时等分？如存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）如图1，过点Q作QE⊥BC于点E，
∵AB=12，当P、Q两点之间的距离是13时，
∴PE=5，
即DQ=t，AQ=16-t，PE=5，PB=3t，
∴PB-AQ=3t-（16-t）=5，
解得：t=

21

4

，
如图2，过点Q作QF⊥BC于点F，
∵AB=12，当P、Q两点之间的距离是13时，
∴PF=5，
即DQ=t，AQ=16-t，PF=5，PB=3t，
∴PB+PF=AQ=16-t=3t+5，
解得：t=

11

4

；
综上所述：当t为

21

4

或

11

4

时，P、Q两点之间的距离是13；

（2）如图3，当PD=CQ时，Q没有运动到C点时，
由题意可得出：PD=t，CQ=21-3t，
∴t=21-3t，
解得：t=

21

4

，
如图4，当PD=CQ时，Q运动到C点后再向B点运动时，
由题意可得出：PD=t，CQ=3t-21，
∴t=3t-21，
解得：t=

21

2

，
综上所述：当t=

21

4

或

21

2

时，以P、Q、C、D为顶点的四边形为平行四边形；

（3）不存在，
理由：∵直角梯形的面积为：

1

2

×12×（21+16）=222，
∴当梯形APQB面积为111时，直线PQ恰好把直角梯形ABCD的面积等分，
即

1

2

×AB×（AP+QB）=111，
∴

1

2

×12×（16-t+3t）=111，
解得：t=

5

4

，
如图5，过点D作DW⊥BC于点W，
∵AB=12，BC=21，AD=16，
∴CW=5，CD=13，
∵直角梯形的周长为：13+16+12+21=62，
当梯形APQB的周长为31时，直线PQ恰好把直角梯形ABCD的周长等分，
∴CD+QD+PC=31，
即t+13+21-3t=31，
解得：t=

3

2

，
∴不存在某一时刻t，使直线PQ恰好把直角梯形ABCD的周长和面积同时等分．