Question

（2014?巴中）如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作MN⊥AC于点M，交

（2014?巴中）如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作MN⊥AC于点M，交AB的延长线于点N，过点B作BG⊥MN于G．（1）求证：△BGD∽△DMA；（2）求证：直线MN是⊙O的切线．

Answer 1

证明：（1）∵MN⊥AC于点M，BG⊥MN于G，
∴∠BGD=∠DMA=90°．
∵以AB为直径的⊙O交BC于点D，
∴AD⊥BC，∠ADC=90°，
∴∠ADM+∠CDM=90°，
∵∠DBG+∠BDG=90°，∠CDM=∠BDG，
∴∠DBG=∠ADM．
在△BGD与△DMA中，∠BGD=∠DMA=90°，
∠DBG=∠ADM．
∴△BGD∽△DMA；

（2）连结OD．
∵BO=OA，BD=DC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC．
∵MN⊥AC，
∴OD⊥MN，
∴直线MN是⊙O的切线．