Question

如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点A、B分别在x轴与y轴上，已知OA=3，OB=5，点D为

如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点A、B分别在x轴与y轴上，已知OA=3，OB=5，点D为y轴上一点，其坐标为（0，1），点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿线段AC-CB的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动时间为t秒．（1）当点P经过点C时，求直线DP的函数解析式；（2）①求△OPD的面积S关于t的函数解析式；②当点D关于OP的对称点落在x轴上时，求点P的坐标．（3）点P在运动过程中是否存在使△BDP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设此时直线DP解析式为y=kx+b，
将D（0，1），C（3，5）代入得：

b＝1 3k+b＝5

，
解得：

k＝ 4 3 b＝1

，
则此时直线DP解析式为y=

4

3

x+1；

（2）①当点P在线段AC上时，OD=1，高为3，S=

3

2

；
当点P在线段BC上时，OD=1，高为3+5-t=8-t，S=

1

2

×1×（8-t）=-

1

2

t+4；
②当点D关于OP的对称点落在x轴上时，D对称点为（1，0），此时直线OP为y=x，
则此时点P的坐标是（3，3）；

（3）存在，理由为：
若△BDP为等腰三角形，分三种情况考虑：
①当BD=BP₁=OB-OD=5-1=4，
在Rt△BCP₁中，BD=4，BC=3，
根据勾股定理得：CP₁=

42?32

=

7

，
∴AP₁=5-

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