已知函数f（x）的定义域为[0，1]，且同时满足：①对于任意x∈[0，1]，总有f（x）≥3；②f（1）=4；③若x1
已知函数f（x）的定义域为[0，1]，且同时满足：①对于任意x∈[0，1]，总有f（x）≥3；②f（1）=4；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f（x1+x2）...
已知函数f（x）的定义域为[0，1]，且同时满足：①对于任意x∈[0，1]，总有f（x）≥3；②f（1）=4；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）-3．（I）求f（0）的值；（II）求函数f（x）的最大值；（III）设数列{an}的前n项和为Sn，满足a1＝1，Sn＝?12(an?3)，n∈N*，求证：f(a1)+f(a2)+…+f(an)＜32log327a2n．
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（Ⅰ） 解：令x1=x2=0，则有f（0）≥2f（0）-3，即f（0）≤3
又对于任意x∈[0，1]，总有f（x）≥3，
∴f（0）=3 （3分）
（Ⅱ）解：任取x1，x2∈[0，1]，x1＜x2，
f（x2）=f[（x2-x1）+x1]≥f（x2-x1）+f（x1）-3
∵0≤x1＜x2≤1，则0＜x2-x1＜1，
∴f（x2-x1）≥3
∴f（x2）≥f（x1）+3-3=f（x1），即f（x）在[0，1]上递增．
∴当x∈[0，1]时，f（x）≤f（1）=4
∴f（x）的最大值为4 （6分）
（Ⅲ）证明：当n＞1时，an=Sn-Sn-1=-
（an-3）-
（an-1-3），
∴
＝
∴数列{an}是以a1=1为首项，公比为
的等比数列．
∴an=
（8分）
f（1）=f[3n-1
]=f[
+（3n-1-1）×
]≥f（
）+f[（3n-1-1）×
]-3≥…
即 4≥3n-1f（
）-3n+3．（10分）
∴f（
）≤
＝3+
，即f（an）≤3+
．
∴f（a1）+f（a2）+…+f（an）≤（3+
）+（3+
）+…+（3+
又对于任意x∈[0，1]，总有f（x）≥3，
∴f（0）=3 （3分）
（Ⅱ）解：任取x1，x2∈[0，1]，x1＜x2，
f（x2）=f[（x2-x1）+x1]≥f（x2-x1）+f（x1）-3
∵0≤x1＜x2≤1，则0＜x2-x1＜1，
∴f（x2-x1）≥3
∴f（x2）≥f（x1）+3-3=f（x1），即f（x）在[0，1]上递增．
∴当x∈[0，1]时，f（x）≤f（1）=4
∴f（x）的最大值为4 （6分）
（Ⅲ）证明：当n＞1时，an=Sn-Sn-1=-
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∴
| an |
| an?1 |
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∴数列{an}是以a1=1为首项，公比为
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| 3 |
∴an=
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| 3n?1 |
f（1）=f[3n-1
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| 3n?1 |
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| 3n?1 |
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| 3n?1 |
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| 3n?1 |
| 1 |
| 3n?1 |
即 4≥3n-1f（
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| 3n?1 |
∴f（
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| 3n?1 |
| 3n+1 |
| 3n?1 |
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| 3n?1 |
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| 3n?1 |
∴f（a1）+f（a2）+…+f（an）≤（3+
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