Question

已知：二次函数f（x）=ax2+bx+c满足：①对于任意实数x，都有f（x）≥x，且当x∈（1，3）时，f(x)≤18(x+2

已知：二次函数f（x）=ax2+bx+c满足：①对于任意实数x，都有f（x）≥x，且当x∈（1，3）时，f(x)≤18(x+2)2恒成立，②f（-2）=0（1）求证：f（2）=2（2）求f（x）的解析式．（3）若g（x）=x+m，对于任意x∈[-2，2]，存在x0∈[-2，2]，使得f（x）=g（x0）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）由①知道f(2)≥2且f(2)≤

1

8

(2+2)2＝2，
∴f（2）=2（4分）
（2）∵f(2)＝4a+2b+c＝2，f(?2)＝4a?2b+c＝0∴b＝

1

2

，c＝1?4a(5分)
∴f(x)＝ax2+

1

2

x+1?4a
∴f(x)≥x等价于ax2?

1

2

x+1?4a≥0
∴ax2?

1

2

x+1?4a≥0对于任意实数x都成立
又因为a≠0∴

a＞0 △＝ 1 4 ?4a(1?4a)≤0

（7分）
∴a＝

1

8

，c＝

1

2

（8分）
此时f(x)＝

1

8

x2+

1

2

x+

1

2

＝

1

8

(x+2)2，x∈(1，3)时f(x)≤

1

8

(x+2)2成立
∴f(x)＝

1

8

(x+2)2（10分）
（3）设函数y=f（x）、y=g（x）在区间[-2，2]上的值域分别为A、B
则A=[0，2]，B=[m-2，m+2]（11分）
由题意得A?B（12分）∴

m?2≤0 m+2≥2

（14分）
∴0≤m≤2（16分）