如图,已知⊙O和⊙O′相交于A、B两点,过点A作⊙O′的切线交⊙O于点C,过点B作两圆的割线分别交⊙O、⊙O
如图,已知⊙O和⊙O′相交于A、B两点,过点A作⊙O′的切线交⊙O于点C,过点B作两圆的割线分别交⊙O、⊙O′于E、F,EF与AC相交于点P.(1)求证:PA?PE=PC...
如图,已知⊙O和⊙O′相交于A、B两点,过点A作⊙O′的切线交⊙O于点C,过点B作两圆的割线分别交⊙O、⊙O′于E、F,EF与AC相交于点P.(1)求证:PA?PE=PC?PF;(2)求证:PE2PC2=PFPB;(3)当⊙O与⊙O′为等圆时,且PC:CE:EP=3:4:5时,求△PEC与△FAP的面积的比值.
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(1)证明:连接AB,
∵CA切⊙O'于A,
∴∠CAB=∠F.
∵∠CAB=∠E,
∴∠E=∠F.
∴AF∥CE.
∴
=
.
∴PA?PE=PC?PF.
(2)证明:∵
=
,
∴
=
.
∴
=
.
再根据切割线定理,得PA2=PB?PF,
∴
=
.
(3)解:连接AE,由(1)知△PEC∽△PFA,
而PC:CE:EP=3:4:5,
∴PA:FA:PF=3:4:5.
设PC=3x,CE=4x,EP=5x,PA=3y,FA=4y,PF=5y,
∴EP2=PC2+CE2,PF2=PA2+FA2.
∴∠C=∠CAF=90°.
∴AE为⊙O的直径,AF为⊙O'的直径.
∵⊙O与⊙O'等圆,
∴AE=AF=4y.
∵AC2+CE2=AE2
∴(3x+3y)2+(4x)2=(4y)2即25x2+18xy-7y2=0,
∴(25x-7y)(x+y)=0,
∴
=
.
∴S△ECP:S△FAP=
=
.
∵CA切⊙O'于A,
∴∠CAB=∠F.
∵∠CAB=∠E,
∴∠E=∠F.
∴AF∥CE.
∴
PE |
PF |
PC |
PA |
∴PA?PE=PC?PF.
(2)证明:∵
PE |
PF |
PC |
PA |
∴
PE2 |
PF2 |
PC2 |
PA2 |
∴
PE2 |
PC2 |
PF2 |
PA2 |
再根据切割线定理,得PA2=PB?PF,
∴
PE2 |
PC2 |
PF |
PB |
(3)解:连接AE,由(1)知△PEC∽△PFA,
而PC:CE:EP=3:4:5,
∴PA:FA:PF=3:4:5.
设PC=3x,CE=4x,EP=5x,PA=3y,FA=4y,PF=5y,
∴EP2=PC2+CE2,PF2=PA2+FA2.
∴∠C=∠CAF=90°.
∴AE为⊙O的直径,AF为⊙O'的直径.
∵⊙O与⊙O'等圆,
∴AE=AF=4y.
∵AC2+CE2=AE2
∴(3x+3y)2+(4x)2=(4y)2即25x2+18xy-7y2=0,
∴(25x-7y)(x+y)=0,
∴
x |
y |
7 |
25 |
∴S△ECP:S△FAP=
x2 |
y2 |
49 |
625 |
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