Question

（2005?宁夏）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点E在直角边AC上（点E与A、C两点均不重合），点F在斜

（2005?宁夏）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点E在直角边AC上（点E与A、C两点均不重合），点F在斜边AB上（点F与A、B两点均不重合）．（1）若EF平分Rt△ABC的周长，设AE长为x，试用含x的代数式表示△AEF的面积；（2）是否存在线段EF将Rt△ABC的周长和面积同时平分？若存在，求出此时AE的长；若不存在，说明理由．

Answer 1

解答：解：（1）∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=5，
∵EF平分Rt△ABC的周长，AE长为x，
∴AF=

3+4+5

2

-x=6-x，
过F作FD⊥AC于点D，则有Rt△ADF∽Rt△ACB，根据对应边的比相等，可以得到：
FD=

4

5

（6-x）
则S_△AEF=-

2

5

x²+

12

5

x（1＜x＜3）

（2）当S_△AEF=3时
解之得x₁=

6? 6

2

，x₂=

6+ 6

2

∵1＜x＜3
∴x₂=

6+ 6

2

（舍去）
当x=

6? 6

2

时，6-x=

6+ 6

2

＜5
∴这样的EF存在．