Question

数列{an}是公差不为0的等差数列，其前n项和为Sn，且S9=135，a3，a4，a12成等比数列．（Ⅰ）求{an}的通项

数列{an}是公差不为0的等差数列，其前n项和为Sn，且S9=135，a3，a4，a12成等比数列．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数m，使a2m+a2m+22am+1仍为数列{an}中的一项？若存在，求出满足要求的所有正整数m；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）设a_n的公差为d≠0，则S9＝9a1+

9×8

2

d＝135，∴a₁+4d=15①
又∵a₃，a₄，a₁₂成等比数列，∴a₄²=a₃?a₁₂，即（a₁+3d）²=（a₁+2d）（a₁+11d），
化简，得13d+7a₁=0②
由①②，得：d=7，a₁=-13，∴a_n=a₁+（n-1）d=7n-20．（6分）
（Ⅱ）由于a_m=a_m+1-d，a_m+2=a_m+1+d，∴

a 2 m + a 2 m+2

2am+1

＝

a 2 m+1 +d2

am+1

＝am+1+

d2

am+1

，
设ak＝am+1+

d2

am+1

，则7k?20＝7(m+1)?20+

49

7(m+1)?20

，
即k＝m+1+

7

7m?13

，由于k、m为正整数，所以7必须能被7m-13整除，
∴7m-13=1，-1，7，-7，∴m=2，k=10，
故存在唯一的正整数m=2，使

a 2 m + a 2 m+2

2am+1

仍为a_n中的一项．（12分）