Question

已知函数f（x）=（x+1）lnx-a（x+1）（a∈R）（I）若当x∈[1，+∞）时，f'（x）＞0恒成立，求a的取值范围

已知函数f（x）=（x+1）lnx-a（x+1）（a∈R）（I）若当x∈[1，+∞）时，f'（x）＞0恒成立，求a的取值范围；（II）求函数g(x)＝f′(x)?ax的单调区间．

Answer 1

x＞0，f′（x）=lnx+

x+1

x

-a．
（I）f′（x）＞0恒成立，即a＜lnx+

1

x

+1（x≥1）恒成立，
令h（x）=lnx+

1

x

+1，则h′（x）=

x?1

x2

≥0，
∴h（x）在[1，+∞）上是增函数，
∴当x∈[1，+∞）时，h（x）最小值=h（1）=2，
故a＜2．
（II）g（x）=f′（x）-

a

x

=lnx+

x+1

x

-a-

a

x

=lnx+

1?a

x

+1-a，
g′（x）=

x?(1?a)

x2

，
当a≥1时，g′（x）＞0，函数g（x）在（0，+∞）上递增；
当a＜1时，g′（x）=0，得x=1-a，
x∈（0，1-a）时，g′（x）＜0函数g（x）在（0，+∞）上递减；
x∈（1-a，+∞）时，g′（x）＞0函数g（x）在（0，+∞）上递增；
故函数g(x)＝f′(x)?

a

x

的单调区间为：
当a≥1时，函数g（x）递增区间为：（0，+∞）；
当a＜1时，函数g（x）递增区间为：（1-a，+∞）；函数g（x）递减区间为：（0，1-a）．