Question

如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，垂足为点A，PA=AB=1，点M，N分别是PD，PB的中点

如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，垂足为点A，PA=AB=1，点M，N分别是PD，PB的中点．（I）求证：PB∥平面ACM；（II）求证：MN⊥平面PAC；（III）若PF＝2FC，求平面FMN与平面ABCD所成二面角的余弦值．

Answer 1

解答：（I）证明：连接AC，BD，AM，MC，MO，MN，且AC∩BD=O
∵点O，M分别是PD，BD的中点
∴MO∥PB，PB?平面ACM
∴PB∥平面ACM．…（4分）
（II）证明：∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD
∴PA⊥BD
∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD
∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC…（7分）
在△PBD中，点M，N分别是PD，PB的中点，∴MN∥BD
∴MN⊥平面PAC．…（9分）
（III）解：PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，故以A为原点，建立空间直角坐标系
由

PF

＝2

FC

可得A(0，0，0)，M(0，

1

2

，

1

2

)，N(

1

2

，0，

1

2

)，F(

2

3

，

2

3

，

1

3

)
设平面MNF的法向量为 

n

=（x，y，z）
∵

NM

＝(?

1

2

，

1

2

，0)，

NF

＝(

1

6

，

2

3

，?

1

6

)…（11分）
∴

? x 2 + y 2 ＝0 x 6 + 2y 3 ? z 6 ＝0

，解得：

y＝x z＝5x

令x=1，可得

n

=（1，1，5）…（13分）
∵平面ABCD的法向量为

AP

＝(0，0，1)∴cos＜

AP

，n＞＝

5

27

＝

5 27

27

…（14分）