Question

三重积分一个题目

被积函数为z，积分区域是z＝√4-x方-y方，，，，，与z＝1/3（x方+y方）

Answer 1

先求交界
√4-x方-y方=1/3（x方+y方)

两边平方
4-x^2-y^2=(x^2+y^2)^2/9
(x^2+y^2)+9(x^2+y^2)-36=0
(x^2+y^2-3)(x^2+y^2+12)=0
x^2+y^2=3(舍去负值-12)
又由第一个函数的定义域4-x^2-y^2>=0
x^2+y^2<=4
所以积分区域实际上是
3<=x^2+y^2<=4,√4-x方-y方<=z<=1/3（x方+y方）

即三重积分可写作如下的累次积分
积分积分<3<=x^2+y^2<=4>dxdy 积分<√4-x方-y方,1/3（x方+y方）> zdz
=积分积分<3<=x^2+y^2<=4>dxdy*(1/2)z^2|<√4-x方-y方,1/3（x方+y方）>
=(1/2)积分积分<3<=x^2+y^2<=4>[(x^2+y^2)^2/9-(4-x^2-y^2)]dxdy
用极坐标

x=rcost
y=rsint
根号3<r<2
0<t<2pi
dxdy=rdrdt
x^2+y^2=r^2
原积分
=(1/2)积分<0,2pi>dt*积分<根号3,2>(r^4/9-4+r^2)*rdr
=pi*积分<根号3,2>r^5/9+r^3-4r dr
=pi*[r^6/54+r^4/4-2r^2]|<根号3,2>
=pi*[37/54+7/4-2]
=pi*(74+189-216)/108
=47pi/108

追问

说明投影是个大圆啊，r不应该是0到2吗

追答

不是啊，你画个图就明白了，会有截面的，是两个曲面的交界