Question

（2004•北京）已知：在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，2）任作一条与抛物线y=ax2（a＞

（2004•北京）已知：在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，2）任作一条与抛物线y=ax2（a＞0）交于两点的直线，设交点分别为A、B．若∠AOB=90°． （1）判断A、B两点纵坐标的乘积是否为一个确定的值，并说明理由； （2）确定抛物线y=ax2（a＞0）的解析式； （3）当△AOB的面积为4 2 时，求直线AB的解析式．

Answer 1

解答：
（1）A、B两点纵坐标的乘积是一个确定的值，理由如下：
设直线AB的解析式为y=kx+2，
由，
得ax2-kx-2=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2
则x1，x2为方程ax2-kx-2=0的两个实数根
∴x1+x2=，x1?x2=-，
∴y1?y2=ax12?ax22=a2（x1?x2）2=a2?（-）2=4．
∴A、B两点纵坐标的乘积为常数4，是一个确定的值；

（2）当直线AB平行于x轴时
由抛物线的对称性可知，A、B两点关于y轴对称
∵∠AOB=90°
∴△AOB为等腰直角三角形
∴AP=PB=OP=2
∴B（2，2）
将x=2，y=2代入y=ax2
得a=1/2
∴所求抛物线的解析式为
y=x^2/2