Question

已知函数f（x）=ln（x+a）-x 2 -x在x=0处取得极值（1）求实数a的值；（2）若关于x的方程f（x）=- 5

已知函数f（x）=ln（x+a）-x 2 -x在x=0处取得极值（1）求实数a的值；（2）若关于x的方程f（x）=- 5 2 x+b在区间[0，2]上有两个不同的实根，求实数b的取值范围．

Answer 1

（1）f′（x）= 1 x+a -2x-1， ∵f′（0）=0，∴a=1． （2）f（x）=ln（x+1）-x 2 -x 所以问题转化为b=ln（x+1）-x 2 + 3 2 x在[0，2]上有两个不同的解， 从而可研究函数g（x）=ln（x+1）-x 2 + 3 2 x在[0，2]上最值和极值情况． ∵g′（x）=- (4x+5)(x-1) 2(x+1) ， ∴g（x）的增区间为[0，1]，减区间为[1，2]． ∴g max （x）=g（1）= 1 2 +ln2，g min （x）=g（0）=0， 又g（2）=-1+ln3， ∴当b∈[-1+ln3， 1 2 +ln2）时，方程有两个不同解．