Question

如图，在直三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中，AC⊥BC，AC=BC=CC 1 ，M、N分别是A 1 B、B 1 C 1 的中点．（Ⅰ）求

如图，在直三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中，AC⊥BC，AC=BC=CC 1 ，M、N分别是A 1 B、B 1 C 1 的中点．（Ⅰ）求证：MN⊥平面A 1 BC；（Ⅱ）求直线BC 1 和平面A 1 BC所成角的大小．

Answer 1

证明：（Ⅰ）由已知BC⊥AC，BC⊥CC 1 ， 所以BC⊥平面ACC 1 A 1 ．连接AC 1 ，则BC⊥AC 1 ． 由已知，侧面ACC 1 A 1 是矩形，所以A 1 C⊥AC 1 ． 又BC∩A 1 C=C，所以AC 1 ⊥平面A 1 BC． 因为侧面ABB 1 A 1 是正方形，M是A 1 B的中点，连接AB 1 ，则点M是AB 1 的中点． 又点N是B 1 C 1 的中点，则MN是△AB 1 C 1 的中位线，所以MN ∥ AC 1 ． 故MN⊥平面A 1 BC． （Ⅱ）因为AC 1 ⊥平面A 1 BC，设AC 1 与A 1 C相交于点D， 连接BD，则∠C 1 BD为直线BC 1 和平面A 1 BC所成角． 设AC=BC=CC 1 =a，则C 1 D= 2 2 a，BC 1 = 2 a． 在Rt△BDC 1 中，sin∠C 1 BD= C 1 D B C 1 = 1 2 ， 所以∠C 1 BD=30°，故直线BC 1 和平面A 1 BC所成的角为30°．