Question

下列命题中是假命题的是A在三角形ABC中，角A、B所对边分别为ab，则sinA>sinB成立的充要条件是a>b对吗？

Answer 1

这是真命题。
证明：
充分性：
因为A>B,A B<π，
∴B<π/2,
若此时A<π/2,自然sinA>sinB成立，
若A>π/2,则π-A>B,且π-A是锐角，故sin(π-A)>sinB,因为sin(π-A)=sinA,所以sinA>sinB成立。
必要性：
sinA>sinB,A B<π，sin(π-A)=sinA,
A和B不能同时都是钝角或都是直角，
当A和B都是锐角时，显然有sinA>sinB成立，
当一个是钝角，一个是锐角时，若B是钝角，即B>A，则π-B>A且π-B和A都是锐角，则sin(π-B)>sinA,即sinB>sinA,与已知的条件sinA>sinB相矛盾，所以A是钝角，B是锐角，即A>B,
上述证明成立，可是没有包含一个角是直角的情况，若一个角是直角，则另一个角只能是锐角，显然直角大于锐角且正弦值大于锐角的正弦。

证毕！