Question

如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，我们把形如图1的图形称之为“8字形“．如图2，∠CAB和∠BD

如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，我们把形如图1的图形称之为“8字形“．如图2，∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于点M、N．试解答下列问题：①仔细观察，在图2中有______个以线段AC为边的“8字形”；②若∠B=76°，∠C=80°，试求∠P的度数；③∠C和∠B为任意角时AP、DP分别是∠CAB、∠BDC的三等分线，写出∠P与∠C、∠B之间数量关系，并说明理由．

Answer 1

①2；
故答案为2．
②证明：∵∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，
∴∠CAP=∠BAP，∠BDP=∠CDP，
∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，
∴∠C-∠P=∠P-∠B，
即∠P=

1

2

（∠C+∠B），
∵∠C=80°，∠B=76°
∴∠P=

1

2

（80°+76°）=78°；    

③∠P=

1

2

（2∠C+∠B）或∠P=

1

2

（∠C+2∠B）．
证明：∵AP、DP分别是∠CAB、∠BDC的三等分线，
∴∠CAP=

1

3

∠BAC，∠BAP=

2

3

∠BAC，∠BDP=

2

3

∠BDC，∠CDP=

1

3

∠BDC，
∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，
∴∠C-∠P=

1

3

∠BDC-

1

3

∠BAC，∠P-∠B=

2

3

∠BDC-

2

3

∠BAC，
∴2（∠C-∠P）=∠P-∠B，
∴∠P=

1

3

（∠B+2∠C），