Question

如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOC的直角边OC在y轴正半轴，且顶点O与坐标原点重合，点A的坐标为（2，4）

如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOC的直角边OC在y轴正半轴，且顶点O与坐标原点重合，点A的坐标为（2，4），直线y=-x+b过点A，与x轴交点B． （1）点B的坐标为______．（2）动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O-C-A的路线向点A运动，同时动点M从点B出发，以相同的速度沿BO的方向向O运动，过点M作MQ⊥x轴，交线段BA或线段AO于点Q，当点P到达A点时，点P和点M都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①设△APQ的面积为S，求S关于t的函数关系式；②是否存在以M、P、Q为顶点的三角形的面积与S相等？若存在，求t的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）将点A（2，4）代入y=-x+b， 得4=-2+b，解得b=6， ∴y=-x+6， 当y=0时，x=6， ∴点B的坐标为（6，0）． 故答案为：（6，0）． （2）①设直线y=-x+6与y轴交于点D，则D（0，6）， ∵B（6，0）， ∴OB=OD=6，∠OBD=∠ODB=45°． 过点A（2，4）作AN⊥OB于N，则AN=OC=4，ON=AC=2，BN=AN=4， ∴当点P到达点C时，点M到达点N． 分两种情况讨论： （i）当0≤t≤4时，点P在OC上，点Q在BA上，如图1． ∵OP=t，BM=QM=t， ∴PQ ∥ OB，PQ=OM=OB-BM=6-t，CP=OC-OP=4-t， ∴S= 1 2 PQ?CP= 1 2 （6-t）（4-t）= 1 2 t 2 -5t+12； （ii）当4＜t≤6时，点P在AC上，点Q在AO上，如图2，延长MQ交AC于点E． ∵OC+CP=t，BM=t， ∴AP=6-t，OM=OB-BM=6-t． ∵tan∠AON= QM OM = AN ON ， ∴ QM 6-t = 4 2 ， ∴QM=12-2t， ∴QE=EM-QM=4-（12-2t）=2t-8， ∴S= 1 2 AP?QE= 1 2 （6-t）（2t-8）=-t 2 +10t-24． 综上可知，S= 1 2 t 2 -5t+12(0≤t≤4) - t 2 +10t-24(4＜t≤6) ； ②存在以M、P、Q为顶点的三角形的面积与S相等，理由如下： 分两种情况讨论： （i）当0≤t≤4时，点P在OC上，点Q在BA上，如图3． ∵S △MPQ = 1 2 PQ?QM= 1 2 （6-t）t=- 1 2 t 2 +3t，S= 1 2 t 2 -5t+12， ∴- 1 2 t 2 +3t= 1 2 t 2 -5t+12， 整理，得t 2 -8t+12=0， 解得t 1 =2，t 2 =6（不合题意舍去）； （ii）当4＜t≤6时，点P在AC上，点Q在AO上，如图4． ∵QM=12-2t，PE=|CE-CP|=|（6-t）-（t-4）|=|10-2t|， ∴S △MPQ = 1 2 QM?PE= 1 2 （12-2t）|10-2t|=（6-t）|10-2t|， 又∵S= 1 2 AP?QE= 1 2 （6-t）（2t-8）=（6-t）（t-4）， ∴（6-t）|10-2t|=（6-t）（t-4）， ∵t=6时，M与Q重合，不合题意舍去， ∴10-2t=±（t-4）， 当10-2t=t-4时，t= 14 3 ； 当10-2t=-（t-4）时，t=6舍去． 综上可知，存在以M、P、Q为顶点的三角形的面积与S相等，此时t的值为2或 14 3 ．