Question

如图，已知直角坐标系中四点A（-2，4），B（-2，0），C（2，-3），D（2，0）、设P是x轴上的点，且PA、PB

如图，已知直角坐标系中四点A（-2，4），B（-2，0），C（2，-3），D（2，0）、设P是x轴上的点，且PA、PB、AB所围成的三角形与PC、PD、CD所围成的三角形相似，请写出所有符合上述条件的点P的坐标：______．

Answer 1

设OP=x（x＞0），分三种情况： 一、若点P在AB的左边，有两种可能： ①此时△ABP ∽ △PDC，则PB：CD=AB：PD， 则（x-2）：3=4：（x+2） 解得x=4， ∴点P的坐标为（-4，0）； ②若△ABP ∽ △CDP，则AB：CD=PB：PD， 则（x-2）：（x+2）=4：3 解得：x=-14 不存在． 二、若点P在AB与CD之间，有两种可能： ①若△ABP ∽ △CDP，则AB：CD=BP：PD， ∴4：3=（x+2）：（2-x） 解得：x= 2 7 ， ∴点P的坐标为（ 2 7 ，0）； ②若△ABP ∽ △PDC，则AB：PD=BP：CD， ∴4：（2-x）=（x+2）：3， 方程无解； 三、若点P在CD的右边，有两种可能： ①若△ABP ∽ △CDP，则AB：CD=BP：PD， ∴4：3=（2+x）：（x-2）， ∴x=14， ∴点P的坐标为（14，0）， ②若△ABP ∽ △PDC，则AB：PD=BP：CD， ∴4：（x-2）=（x+2）：3， ∴x=4， ∴点P的坐标为（4，0）； ∴点P的坐标为（ 2 7 ，0）、（14，0）、（4，0）、（-4，0）．