Question

设定义域为（0，+∞）的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log 2 x ]=6，若x 0 是方

设定义域为（0，+∞）的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log 2 x ]=6，若x 0 是方程f（x）-f′（x）=4的一个解，且x 0 ∈（a，a+1）（a∈N * ），则a=______．

Answer 1

根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log 2 x]=6， 又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数， 则f（x）-log 2 x为定值， 设t=f（x）-log 2 x，则f（x）=t+log 2 x， 又由f（t）=6，可得t+log 2 t=6， 可解得t=4，故f（x）=4+log 2 x，f′（x）= 1 xln2 ， 又x 0 是方程f（x）-f′（x）=4的一个解， 所以x 0 是函数F（x）=f（x）-f′（x）-4=log 2 x- 1 xln2 的零点， 分析易得F（1）=- 1 ln2 ＜0，F（2）=1- 1 2ln2 =1- 1 ln4 ＞0， 故函数F（x）的零点介于（1，2）之间，故a=1， 故答案为：1