Question

已知函数f(x)＝1+lnxx．（Ⅰ）若函数在区间(a，a+12)（其中a＞0）上存在极值，求实数a的取值范围；（Ⅱ）

已知函数f(x)＝1+lnxx．（Ⅰ）若函数在区间(a，a+12)（其中a＞0）上存在极值，求实数a的取值范围；（Ⅱ）如果当x≥1时，不等式f(x)≥kx+1恒成立，求实数k的取值范围；（Ⅲ）求证[（n+1）！]2＞（n+1）?en-2（n∈N*）．

Answer 1

（Ⅰ）因为f(x)＝

1+lnx

x

，x＞0，则f′(x)＝?

lnx

x2

，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0．
所以f（x）在（0，1）上单调递增；在（1，+∞）上单调递减，
所以函数f（x）在x=1处取得极大值．
因为函数f（x）在区间(a，a+

1

2

)（其中a＞0）上存在极值，
所以

a＜1 a+ 1 2 ＞1

，解得

1

2

＜a＜1．
（Ⅱ）不等式f(x)≥

k

x+1

，
即为

(x+1)(1+lnx)

x

≥k，记g(x)＝

(x+1)(1+lnx)

x

，
所以g′(x)＝

[(x+1)(1+lnx)]′x?(x+1)(1+lnx)

x2

＝

x?lnx

x2

，
令h（x）=x-lnx，则h′(x)＝1?

1

x

，∵x≥1，∴h′（x）≥0．
∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，∴[h（x）]_min=h（1）=1＞0，
从而g′（x）＞0
故g（x）在[1，+∞）上也单调递增，
∴[g（x）]_min=g（1）=2，所以k≤2
（3）由（2）知：f(x)＞

2

x+1

恒成立，
即lnx≥

x?1

x+1

＝1?

2

x+1

＞1?

2

x

，
令x=n（n+1），则ln[n(n+1)]＞1?

2

n(n+1)

，
所以ln(1×2)＞1?

2

1×2

，
ln(2×3)＞1?

2

2×3

，ln(3×4)＞1?

2

3×4

，
ln[n(n+1)]＞1?

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