Question

已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足8Sn＝an2+4an+3，且a2是a1和a7的等比中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公

已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足8Sn＝an2+4an+3，且a2是a1和a7的等比中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）符号[x]表示不超过实数x的最大整数，记bn＝[log2(an+34)]，求b1+b2+b3+…b2n．

Answer 1

（Ⅰ）由8Sn＝an2+4an+3 ①
得8Sn?1＝an?12+4an?1+3 (n≥2，n∈N) ②
①-②得：8a_n=（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1）+4a_n-4a_n-1，
整理得：（a_n-a_n-1-4）（a_n+a_n-1）=0（n≥2，n∈N），
∵{a_n}为正项数列，
∴a_n+a_n-1＞0，则a_n-a_n-1=4（n≥2，n∈N），
∴{a_n}为公差为4的等差数列，
由8a1＝a12+4a1+3，得a₁=3或a₁=1，
当a₁=3时，a₂=7，a₇=27，不满足a₂是a₁和a₇的等比中项．
当a₁=1时，a₂=5，a₇=25，满足a₂是a₁和a₇的等比中项．
∴a_n=1+（n-1）×4=4n-3；
（Ⅱ） 由a_n=4n-3，得bn＝[log2(

an+3

4

)]＝[log2n]，
由符号[x]表示不超过实数x的最大整数知，当2^m≤n＜2^m+1时，[log₂n]=m，
令S＝b1+b2+b3+…b2n＝[log21]+[log22]+[log23]+…[log22n]
=0+1+1+2+…+3+…+4+…+n-1+…+n
∴S=1×2¹+2×2²+3×2³+4×2⁴+（n-1）×2^n-1+n ①
2S=1×2²+2×2³+3×2⁴+4×2⁵+（n-1）×2ⁿ+2n ②
①-②得：

?S＝2+22+23+24+…+2n?1?(n?1)2n?n

=

2(1?2n?1) 1?2 ?(n?1)2n?n＝(2?n)2n?n?2

，
∴S=（n-2）2ⁿ+n+2，
即b1+b2+b3+…b2n=（n-2）2ⁿ+n+2．