Question

（2008?东城区一模）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=BB1，直线B1C与平面ABC成30°角．（I

（2008?东城区一模）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=BB1，直线B1C与平面ABC成30°角．（I）求证：平面B1AC⊥平面ABB1A1；（II）求直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值．

Answer 1

（I）证明：由直三棱柱性质，B₁B⊥平面ABC，
∴B₁B⊥AC，又BA⊥AC，B₁B∩BA=B，
∴AC⊥平面ABB₁A₁，又AC?平面B₁AC，
∴平面B₁AC⊥平面ABB₁A₁．
（II）解：过A₁做A₁M⊥B₁A₁，垂足为M，连接CM，
∵平面B₁AC⊥平面ABB₁A，且平面B₁AC∩平面ABB₁A₁=B₁A，
∴A₁M⊥平面B₁AC．
∴∠A₁CM为直线A₁C与平面B₁AC所成的角，
∵直线B₁C与平面ABC成30°角，∴∠B₁CB=30°．
设AB=BB₁=a，可得B₁C=2a，BC=

3

a，AC＝

2

a，
从而A1C＝

3

a，又A1M＝

2

2

a，sinA1CM＝

A1M

A1C

＝

6

6

.
∴直线A₁C与平面B₁AC所成角的正弦值为

6

6

.