（2013?红河州）如图，抛物线y=-x2+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上的一个动点且在第一
（2013?红河州）如图，抛物线y=-x2+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上的一个动点且在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线BC于点E．...
（2013?红河州）如图，抛物线y=-x2+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上的一个动点且在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线BC于点E．（1）求点A、B、C的坐标和直线BC的解析式；（2）求△ODE面积的最大值及相应的点E的坐标；（3）是否存在以点P、O、D为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
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（1）在y=-x2+4中，当y=0时，即-x2+4=0，解得x=±2．
当x=0时，即y=0+4，解得y=4．
所以点A、B、C的坐标依次是A（-2，0）、B（2，0）、C（0，4）．
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则
，解得
．
所以直线BC的解析式为y=-2x+4． …3分
（2）∵点E在直线BC上，
∴设点E的坐标为（x，-2x+4），
则△ODE的面积S可表示为：S=
x(-2x+4)=-x2+2x=-(x-1)2+1．
∴当x=1时，△ODE的面积有最大值1．
此时，-2x+4=-2×1+4=2，
∴点E的坐标为（1，2）． …5分
（3）存在以点P、O、D为顶点的三角形与△OAC相似，理由如下：
设点P的坐标为（x，-x2+4），0＜x＜2．
因为△OAC与△OPD都是直角三角形，分两种情况：
①当△PDO∽△COA时，
=
，
=
，
解得x1=
-1，x2=-
-1（不符合题意，舍去）．
当x=
-1时，y=-(
当x=0时，即y=0+4，解得y=4．
所以点A、B、C的坐标依次是A（-2，0）、B（2，0）、C（0，4）．
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则
|
|
所以直线BC的解析式为y=-2x+4． …3分
（2）∵点E在直线BC上，
∴设点E的坐标为（x，-2x+4），
则△ODE的面积S可表示为：S=
| 1 |
| 2 |
∴当x=1时，△ODE的面积有最大值1．
此时，-2x+4=-2×1+4=2，
∴点E的坐标为（1，2）． …5分
（3）存在以点P、O、D为顶点的三角形与△OAC相似，理由如下：
设点P的坐标为（x，-x2+4），0＜x＜2．
因为△OAC与△OPD都是直角三角形，分两种情况：
①当△PDO∽△COA时，
| PD |
| CO |
| OD |
| AO |
| -x2+4 |
| 4 |
| x |
| 2 |
解得x1=
| 5 |
| 5 |
当x=
| 5 |
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