Question

已知f（x）=logax，g（x）=2loga（2x+t-2）（a＞0，a≠1，t∈R）．（1）当t=4，x∈[1，2]，且F（x）=g（x

已知f（x）=logax，g（x）=2loga（2x+t-2）（a＞0，a≠1，t∈R）．（1）当t=4，x∈[1，2]，且F（x）=g（x）-f（x）有最小值2时，求a的值；（2）当0＜a＜1，x∈[1，2]时，有f（x）≥g（x）恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

（1）当t=4时，
F（x）=g（x）-f（x）=log_a

(2x+2)2

x

，x∈[1，2]，
令h（x）=

(2x+2)2

x

=4(x+

1

x

+2)，x∈[1，2]，
设u=x+

1

x

，x∈[1，2]作出u（x）的图象可知
u（x）=x+

1

x

在[1，2]上为单调增函数．
∴h（x）在[1，2]上是单调增函数，
∴h（x）_min=16，h（x）_max=18．
当0＜a＜1时，有F（x）_min=log_a18，
令log_a18=2，求得a=3

2

＞1（舍去）；
当a＞1时，有F（x）_min=log_a16，
令log_a16=2，求得a=4＞1．∴a=4．
（2）当0＜a＜1，x∈[1，2]时，有f（x）≥g（x）恒成立，
即当0＜a＜1，x∈[1，2]时，
log_ax≥2log_a（2x+t-2）恒成立，
由log_ax≥2log_a（2x+t-2）可得
log_a

x

≥log_a（2x+t-2），
∴

x

≤2x+t-2，∴t≥-2x+

x

+2．
设u（x）=-2x+

x

+2=-2（

x

）²+