Question

已知双曲线x2a2?y2b2＝1 (a＞0，b＞0)，焦距2c=4，过点（2，3），（1）求双曲线的标准方程及其渐近线方程

已知双曲线x2a2?y2b2＝1 (a＞0，b＞0)，焦距2c=4，过点（2，3），（1）求双曲线的标准方程及其渐近线方程．（2）直线l：y=kx+1与双曲线有且仅有一个公共点，求k的值．

Answer 1

（1）由已知得：

2c＝4 4 a2 ? 9 b2 ＝1 c2＝a2+b2

，解得

c＝2 a＝1，b2＝3

．
∴双曲线的方程为x2?

y2

3

＝1，
双曲线的渐近线：y＝±

3

x．
（2）联立

y＝kx+1 3x2?y2＝3

消y得：（3-k²） x²-2kx-4=0．
当3-k²=0时，即k＝±

3

，x＝?

2

k

，
此时直线l与双曲线有且仅有一个公共点，满足题意．        
当3-k²≠0时，△=4 k²-4（3-k²）（-4）=0．解得k=±2．
综上所述k＝±

3

或k=±2．