Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知OA=4OB，AC=2B

如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知OA=4OB，AC=2BC=25．（1）求点A、B、C的坐标；（2）若点C关于原点的对称点为C′，试问在AB的垂直平分线上是否存在一点G，使得△GBC′的周长最小？若存在，求出点G的坐标和最小周长；若不存在，请说明理由．（3）设点P是直线BC上异于点B、点C的一个动点，过点P作x轴的平行线交直线AC于点Q，过点Q作QM垂直于x轴于点M，再过点P作PN垂直于x轴于点N，得到矩形PQMN．则在点P的运动过程中，当矩形PQMN为正方形时，求该正方形的边长．

Answer 1

解答：解：（1）设OB=k（k＞0），则OA=4k，AB=5k，
∵AC=2BC=2

5

，∠ACB=90°，
∴（2

5

）²+（

5

）²=（5k）²，
 解得：k=1，
∴OB=1，OA=4，
∴A（-4，0），B（1，0），
∵OC=

CB2+OB2

=2，
∴C（0，-2）；

（2）如图1，连接AC′，由几何知识知AC′与AB的垂直平分线l的交点即为△GBC′的周长最小时的点G．
连接GB，BC′，
∵点C′与点C关于原点对称，且C（0，-2），
∴C′（0，2），
∵A（-4，0），B（1，0），
∴直线AC′的解析式为：y=

1

2

x+2，
直线l的解析式为：x=-

3

2

，
∴点G（-

3

2

，

5

4

），
∵BC′=

12+22

=

5

，AC′=

42+22

=2

5

∴△GBC′的最小周长为：
GB+GC′+BC′=AC′+BC′=3

5

；

（3）由图易知点P不可能在直线BC的点B右上方．
当点P在线段BC之间时（如图2），
设正方形PQMN的边长为t．
∵A（-4，0），B（1，0），C（0，-2）
∴直线AC的解析式为：y=-

1

2

x-2，
直线BC的解析式为：y=2x-2，
∴点P（

2?t

2

，-t），点Q（2t-4，-t），
∴点N（

2?t

2

，0），点M（2t-4，0），
∴MN=-2t+4+

2?t

2

=t，解得t=

10

7

，
当点P在直线BC的左下方时，同理可得点N（

2?t

2

，0），点M（2t-4，0），此时
MN=2t-4-

2?t

2

=t，解得t=

10

3

．
综上所述，正方形PQMN的边长为

10

7

或

10

3

．