Question

已知函数f（x）=ax+lnx-1（a＞0）．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）求f（x）在x∈[1e，e]上

已知函数f（x）=ax+lnx-1（a＞0）．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）求f（x）在x∈[1e，e]上的最小值．

Answer 1

解答：（本题满分（12分），第（1）问（5分），第（2）问7分）
解：（1）f′(x)＝

x?1

x2

…（1分）
x∈（0，1）时，f′（x）＜0，则f（x）在 （0，1）上单调递减，
x∈[1，+∞）时，f′（x）≥0，则f（x）在[1，+∞）上单调递增；…（5分）
（2）f′(x)＝

x?a

x2

…（6分）
①当0＜a≤

1

e

时，f'（x）≥0，f（x）在x∈[

1

e

，e]单调递增，f(x)min＝f(

1

e

)＝ae?2，…（8分）
②当

1

e

＜a＜e时，f（x）在[

1

e

，a]上递减，（a，e]上单调递增，f（x）_min=f（a）=lna，…（10分）
③当e≤a时，f'（x）≤0，f（x）在x∈[

1

e

，e]单调递减，f(x)min＝f(e)＝

a

e

．…（12分）