Question

求解2道初中截长补短法题目。详见补充。

一、如图①，△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE交于点O。求证：AE+CD=AC
二、如图②，△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=40°，AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC。求证：AE+BE=AB+BD。
图一上点O忘了标了，谢谢。

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Answer 1

如图1，在AC上取一点F，使得AE=AF，连接OF
∵AD是三角形ABC的角平分线
∴∠EAO=∠FAO
∵AO=AO
∴△AEO≌△AFO（SAS）
∠AOE=∠AOF
∵CE是三角形ABC的角平分线
∴∠ACE=∠BCE
在△AOC中
∠AOC=180°-∠FAO-∠ACO=180°-1/2(∠ACB+∠BAC）=120°
∵∠AOE+∠AOC=180°
∴∠AOE=60°则∠COD=60°
∠COF=60°
∴∠COD=∠COF
∵CO=CO
∴△COD≌△COF(ASA)
CD=CF
∴AE+CD=AF+CF=AC
如图2，延长AB到P，使BD＝BP，连接PD
根据已知条件∠BAC=60度,∠ACB=40度得：
∠PBD＝100°，
所以∠P＝40°＝∠ACB
因为AD平分∠BAC
所以∠PAD＝∠PAC
因为AP＝AP
所以△PAD≌△PAC
所以AP＝AC
因为∠BAC=60度,∠ACB=40度,AD,BE分别平分∠BAC和∠ABC
所以可得∠CBE＝40度＝∠ACB
所以BE＝CE
所以BE＋AE＝CE＋AE＝AC
所以BE＋AE＝AP＝AB＋BP
所以BE＋AE＝AB＋BD