Question

已知a∈R，函数f(x)=(-x∧2+ax)e∧x(x∈R，e为自然对数的底数)．

(I)当a=2时，求函数，f(x)的单调递增区间；
(Ⅱ)若函数f(x)在(-1，1)内单调递增，求a的取值范围；
急求
急求

Answer 1

f(x)=(-x^2+ax)e^x

f ' (x)=(-2x+a)e^x+(-x^2+ax)e^x
=e^x[-x^2+(a-2)x+a]
(1)
当a=2时，
f '(x)=e^x(-x^2+2)
令f '(x)>0
e^x>0
所以，
(-x^2+2)>0
-√2<x<√2
f(x)的单调增区间为：(-√2,√2)
(2)
令f '(x)>0
则
-x^2+(a-2)x+a>0
x^2+(2-a)x-a<0 x∈(-1,1)
g(x)=x^2+(2-a)x-a<0
当前问题已化为：g(x)在(-1,0)上恒不负值时，求a的范围；
g(-1)= -1<0 ;
抛物线的对称轴为：x=(a/2)-1
如果(a/2)-1<-1 , 即a<0 时，g(x)在(-1,1)上是增函数，
只需g(1)≤0
3-2a≤0
a≥3/2与a<0矛盾！
如果 -1≤(a/2)-1<1时，0≤a＜4 函数g(x)在(-1,1)上先减后增，只需g(1)≤0
a≥3/2
所以，
3/2≤a<4
如果1≤(a/2)-1,即a≥4时，g(x)在(-1,1)上单调减，由于g(-1)<0,g(x)<0恒成立；
所以，
a≥4
综合可知：a≥3/2

Answer 2

f'(x)=(-2x+a)e^x+(-x²+ax)e^x
=[-2x²+(a-2)x+a]e^x
令f'(x)≤0，那么2x²-(a-2)x-a≥0 ①
依题意得①式对于任意x∈R恒成立
那么就要求Δ=(a-2)²+8a=(a+2)²≤0
那么a只能为-2，
即只有当a=-2时，f(x)才是R上的单调递减函数
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