Question

求级数收敛域，求级数和，没思路，求解！

前面2个是求收敛域，第三个是求级数和，谢谢了。

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Answer 1

下面用的很多都是latex的语言，^代表上标，比如a^2就是a的平方，_代表下标，\sum代表求和。

第一题，x模大于1和小于1的时候都容易证明是绝对收敛的，等于1的时候假设x=e^{ia}，则原式为
\sum_n 1/{e^{ina}+e^{-ina}}=\sum_n 1/(2cos(na))，对任意实数a都不收敛。所以第一题收敛域为x的模不等于1。

第二题的话arctan对于复数的定义我不太熟悉呢（第一题是对复数做的，对实数当然也对），对于x为实数的话，有限项和总是well defined的。所以只要考虑余项，由于arctanx在x=0附近的一阶行为大概是x，或者更严密一些可以被(1+epsilon)x来控制住，所以当n大到一定程度之后的和大概是sum_2(1+epsilon)x/n^3的阶，收敛。因此第二题在实数轴上都是收敛的。

第三题=sum_{n=1}^{\infty} (-1/2)*(1/(2n-1)-1/2n)(-1/3)^n。
求\sum_1^infty (a^n)/n一般而言，假设其为A(x)当x取a时候的值，则A'(a)=\sum_1^infty a^(n-1)=1/(1-a)（当a模小于1。显然这里-1/3的模小于1），又由于A(0)=0，因此A(a)= -ln(1-a)。
对于另外一项就比较复杂了，\sum_1^infty (a^n)/(2n-1)=\sum_1^infty (sqrt(a)^(2n))/(2n-1) （even if a is negaive）= sqrt(a)* \sum_{j is impair} (sqrt(a)^j)/j = sqrt(a)* (\sum_{j=1}^{infty} (sqrt(a)^j)/j- 1/2\sum_{j=1}^{infty} (a^j)/j)（对奇数项求和拆成对整数项求和和对偶数项求和的差，后者又可以转化为一个新的对整数项求和）=sqrt(a)*(-ln(1-sqrt(a))+1/2*ln(1-a))。
大概思路就是这样子，写得比较乱，后面还剩一些计算懒得算了（手边没草稿纸，打出来也繁，你看起来也繁还不如自己手算呢） 。