Question

如图，AB ∥ CD，∠BAC与∠DCA的平分线相交于点G，GE⊥AC于点E，F为AC上的一点，且FA=FG=FC，GH⊥CD于H．

如图，AB ∥ CD，∠BAC与∠DCA的平分线相交于点G，GE⊥AC于点E，F为AC上的一点，且FA=FG=FC，GH⊥CD于H．下列说法：①AG⊥CG；②∠BAG=∠CGE；③S △AFG =S △CFG ；④若∠EGH：∠ECH=2：7，则∠EGF=50度．其中正确的有（　　） A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②④

Answer 1

①中，根据两条直线平行，同旁内角互补，得∠BAC+∠ACD=180°， 再根据角平分线的概念，得∠GAC+∠GCA= 1 2 ∠BAC+ 1 2 ∠ACD= 1 2 ×180°=90°， 再根据三角形的内角和是180°，得AG⊥CG； ②中，根据等角的余角相等，得∠CGE=∠GAC，故∠BAG=∠CGE； ③中，根据三角形的面积公式， ∵AF=CF，∴S △AFG =S △CFG ； ④中，根据题意，得：在四边形GECH中，∠EGH+∠ECH=180度． 又∠EGH：∠ECH=2：7，则∠EGH=180°× 2 9 =40°，∠ECH=180°× 7 9 =140度． ∵CG平分∠ECH，∴∠FCG= 1 2 ∠ECH=70°， 根据直角三角形的两个锐角互余，得∠EGC=20°． ∵FG=FC， ∴∠FGC=∠FCG=70°， ∴∠EGF=50°． 故上述四个都是正确的． 故选A．