Question

已知双曲线C：x2a2?y2b2=1（a＞0，b＞0）的离心率为3，实轴长为2；（1）求双曲线C的标准方程；（2）已知

已知双曲线C：x2a2?y2b2=1（a＞0，b＞0）的离心率为3，实轴长为2；（1）求双曲线C的标准方程；（2）已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求实数m的值．

Answer 1

（1）依题意得2a=2，a=1，…（1分）
e＝

3

，∴c＝

3

，…（2分）
∴b²=c²-a²=2，…（4分）
∴双曲线方程为：x2?

y2

2

＝1…（5分）
（2）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）AB的中点M（x₀，y₀），…（6分）
由

2x2?y2＝2 x?y+m＝0

得x²-2mx-m²-2=0…（8分）
x0＝

x1+x2

2

＝m，y0＝x0+m＝2m，…（10分）
∵点M在圆上，∴x02+y02＝5，
∴m²+（2m）²=5，∴m=±1．…（12分）