Question

已知抛物线y=ax 2 +2x+c的图象与x轴交于点A（3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）．（1）求抛物线的解析式

已知抛物线y=ax 2 +2x+c的图象与x轴交于点A（3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点D，使得点D到点B、C的距离之和最小，并求出点D的坐标；（3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax 2 +2x+c的图象经过点A（3，0）和点B（0，3）， ∴ ，解得a=-1，c=3， ∴抛物线的解析式为：y=-x 2 +2x+3．   （2）对称轴为x= =1， 令y=-x 2 +2x+3=0，解得x 1 =3，x 2 =-1， ∴C（-1，0）． 如图1所示，连接AB，与对称轴x=1的交点即为所求之D点，由于A、C两点关于对称轴对称，则此时DB+DC=DB+DA=AB最小． 设直线AB的解析式为y=kx+b，由A（3，0）、B（0，3） 可得： ，解得k=-1，b=3， ∴直线AB解析式为y=-x+3． 当x=1时，y=2， ∴D点坐标为（1，2）．   （3）结论：存在． 如图2所示，设P（x，y）是第一象限的抛物线上一点， 过点P作PN⊥x轴于点N， 则ON=x，PN=y，AN=OA-ON=3-x． S △ABP =S 梯形PNOB +S △PNA -S △AOB = （OB+PN）ON+ PN×AN- OA×OB = （3+y）x+ y（3-x）- ×3×3 = （x+y）- ， ∵P（x，y）在抛物线上， ∴y=-x 2 +2x+3， 代入上式得： S △ABP = （x+y）- =- （x 2 -3x）=- （x- ） 2 + ，  ∴当x= 时，S △ABP 取得最大值． 当x= 时，y=-x 2 +2x+3= ， ∴P（ ， ）． 所以，在第一象限的抛物线上，存在一点P，使得△ABP的面积最大； P点的坐标为（ ， ）．