Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x3+x+1，则f（x）在R上的解析式为______

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x3+x+1，则f（x）在R上的解析式为______．

Answer 1

由题意可知：
当x=0时，∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（-0）=-f（0）=f（0），∴f（0=0）；
当x＜0时，任设x∈（-∞，0），则-x＞0，又因为：当x＞0时，f（x）=x³+x+1，
所以：f（-x）=（-x）³-x+1=-x³-x+1，又因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴-f（x）=-x³-x+1，
∴f（x）=x³+x-1．
所以函数f（x）在R上的解析式为：f(x)＝

x3+x+1 ，x＞0 0 ，x＝0 x3+x?1 ，x＜0

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故答案为：f(x)＝

x3+x+1 ，x＞0 0 ，x＝0 x3+x?1 ，x＜0

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