Question

设点A（1，0），B（2，1），如果直线ax+by=1与线段AB有一个公共点，那么a2+b2的最小值为______

设点A（1，0），B（2，1），如果直线ax+by=1与线段AB有一个公共点，那么a2+b2的最小值为______．

Answer 1

∵直线ax+by=1与线段AB有一个公共点，
∴点A（1，0），B（2，1）在直线ax+by=1的两侧，
∴（a-1）（2a+b-1）≤0，
即

a?1≤0 2a+b?1≥0

或

a?1≥0 2a+b?1≤0

；
画出它们表示的平面区域，如图所示．
a²+b²表示原点到区域内的点的距离的平方，
由图可知，当原点O到直线2x+y-1=0的距离为原点到区域内的点的距离的最小值，
∵d=

|?1|

4+1

1

5

，
那么a²+b²的最小值为：d²=

1

5

．
故答案为：

1

5

．