Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an-1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）记bn=an-n（n

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an-1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）记bn=an-n（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．

Answer 1

（Ⅰ）∵S_n=2a_n-1，
令n=1，解得a₁=1．（2分）
∵S_n=2a_n-1，
∴Sn?1＝2an?1?1，(n≥2，n∈N*)…（3分）
两式相减得a_n=2a_n-1，…（5分）
∴{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，…（6分）
∴an＝2n?1．…（7分）
（Ⅱ）解：∵b_n=a_n-n，an＝2n?1，
bn＝2n?1?n…（8分）

Tn＝b1+b2+…+bn     ＝(20?1)+(21?2)+…+(2n?1?n)

=（2⁰+2¹+…+2^n-1）-（1+2+…+n）…（10分）
=2n?1?

n(n+1)

2

…（13分）
（说明：等比求和正确得（2分），等差求和正确得1分）