Question

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）的离心率e=32，连接椭圆C的四个顶点得到的四

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）的离心率e=32，连接椭圆C的四个顶点得到的四边形的面积为4．（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n）使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A，B，且△ABO的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的△ABO的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由题意可得

e＝ c a ＝ 3 2 1 2 ×2a×2b＝4 a2＝b2+c2

解得a=2，b=1，c＝

3

，
所以椭圆的方程为

x2

4

+y2＝1．
（2）在△AOB中，|OA|=|OB|=1，∴S△AOB＝

1

2

|OA| |OB|sin∠AOB≤

1

2

，
当且仅当∠AOB=90°时，S_△AOB有最大值

1

2

，
当∠AOB=90°时，点O到直线AB的距离为d＝

2

2

．
由d＝

2

2

?

1

m2+n2

＝

2

2

?m²+n²=2．
又∵m²+4n²=4，联立

m2+n2＝2 m2+4n2＝4

解得

m2＝ 4 3 n2＝ 2 3

，此时点M(±

2 3

3

，±

6

3

)．