如何有效启发学生的数学思维活动
对于理工科来说，数学很重要，如果你读研或读博更会发现数学很重要，我一直在学数学，本科、硕士都是数学专业的，后来才跨学科的，身边的人到提过说我的逻辑性还可以，但个人感觉越学越不会，不会的知识特别多。培养一个好的逻辑性是非常重要的，但个人觉得这肯定不是一个短期的事，要长期来看，也要看你现在所处的学习阶段。
初高中生提高逻辑性思维方法
对于不同的学习阶段会有不同的侧重，如果是初中、高中培养逻辑性相对简单些，因为初高中主要还是面向考试，所学的知识面比较窄，而中考和高考的题型相对比较固定，训练起来相对容易，我觉得应该做到如下两方面吧。
一方面，知识点连贯性，不能独立思考每一块的知识，要知道哪一块和哪一块是有关联性的，比如三角函数和平面向量，立体几何和空间向量的结合，最重要的是，独立思考，尽可能不让老师或其他人带着你走，要自己思考，琢磨知识之间的交叉和关联。
另一方面，做题思考，不要做完了就完事了，琢磨下他考了哪些知识点，命题人的逻辑性，他的命题点在哪，反复训练，久而久之，你看到题型，自然就知道他要考什么了，做起题来就得心应手了。
本硕博提高逻辑性思维方法
如果你在读本科或研究生，而且数学专业的，恭喜你，数学之庞大，超乎你的想象，分支太多了，数学分析、高等数学、概率论、凸分析、凸优化.....，这时你的重心不在于做题考试了，要了解学科归类，哪些是基础理论，哪些是应用理论，不仅要知其然还要知其所以然，进一步尝试能否扩展创新，如果题主是在这个学习阶段，那么我觉得不用刻意培养逻辑性，只要学好每一门学科，自然而然你就培养出来了。
如果非数学专业的，我个人觉得其他专业更注重应用性，学习你能用到的数学知识，但要学通，想培养逻辑性，你只用用公式、定理是不行的，要知道为什么，理解到位，懂的多了，自然逻辑性就上来了。
总之吧，要学透，注意关联，分类，最重要的是思考，没事就想为什么，想通了慢慢的就好了。
一、启发的原型
所谓启发原型，就是学生现有认知结构中待学知识的生长点。数学学习过程是以学生原有认知结构为基础，通过内化、领悟，把新知识纳入到已有认知结构中去的过程。在这一过程中，教师的作用就是调动学生的知识储备，使新的教学知识与原有认知结构中的相应材料建立起实质性的联系。因此，教学中必须分清哪些是学生认知结构中得以同化新知识的相关材料（即启发原型），并在此基础上设计好教学。
比如，概念教学中，由于数学概念往往是由一些实际事例和具体的数学教材抽象概括而成的，教学中要想让学生经历概念的发生，发展过程，就必须从这些学生已知的实际事例和具体的数学材料入手，去其表象，存其精髓，逐步形成概念。
再如，例题教学中，由于其关键是解（证）题思路的探寻过程，而思路的寻求过程经常表现为：“从已知、结论或是图形方面看，过去有没有做命题”等。这里的“类似的题目”、“更容易、更直观的命题”就是此时的启发原型，教师要善于把待解（证）之题与这些启发原型沟通起来。这样，解题思路在学生头脑中就会经历了一个由模糊到清楚、由分散到聚合的过程，思路的获得也就水到渠成了。
二、启发的时机
关于启发时机，孔子早就说过：“不愤不启，不悱不发”。意思是说，只有在学生思考不出而产生烦闷心情时，在学生想说又说不出来时，教师才予以启发。具体到数学教学中，就是要做到以下两点。
一是要把握时机。例如，在证明“角平分线上的点到两边距离相等”性质时，先让学生自己思考，当学生明白题意而又不知如何下手时，抽取第一个启发原型，从而把思路定向为“证两个三角形全等”；当学生在分析中找不到三角形全等，出现第二次困惑时，再次抽取启发原型，将思路定向为“如何构造两个全等三角形”，当学生不知如何构造全等三角形，出现了第三次思维障碍时，教师又通过全等三角形的判定方法，及时诱导、点拨，将学生的思路引到“拼在一块”上来，收到了良好的效果。
二是要创造时机。教师根据教材特点、学生水平，在启发原型的基础上，能抓住时机创设情境，营造良好的启发态势，使学生在似知非知、欲懂非懂的情境中，积极热情地投入到尝试活动中去。
案例1：
教师有意安排两名层次不同的学生板演，并引导学生分析。两名同学在计算正确无误的情况下，运用都准确无误，怎么会出现不同的结果呢？
由于学生都亲自解答过，此时问题一提出，学生的思维焦点立刻集中在“为什么”、“问题出在哪里”这样的问题上，使学生产生了欲罢不能的心情，为下面的教学创造了良好的启发契机。
三、启发的力度
关于启发的力度，古人也早有论述：“道而弗牵，强而弗抑，开而弗达。”“示之始而正之于终。”意思就是给学生指出思考的方向但不要牵着学生的鼻子走；严格要求但不要施加压力，提醒学生但不能直接告诉答案。教学一开始，教师诱导、提示，学生尝试并得到一些结果时，教师再予以指正。
案例2：
在讲单项式、多项式、整式的概念时，可采取下面的步骤：
出示两组代数式，要求学生指出这些代数式是怎样组成的，老师板书如下：
（1）教师提出问题：观察第一组代数式、数字与字母之间、字母与字母之间什么共同规律。
（2）学生通过观察、思考、讨论，归纳出：数与字母、字母与字母间只有乘法运算。
（3）学生总结出单项式概念，教师补充完整。
（4）观察第二组代数式有什么规律？
（5）归纳出：“次”、“项”的含义、多项式的概念。
以上过程中，字母与数字、字母与字母之间运算及相关概念就是此时的启发原型。它们分成只有乘法运算和既有乘法运算、又有加法运算两组。让学生观察、总结、归纳等。是在启发原型的基础上，从学生的认识水平出发，进行了教学法上的处理。
如果再给出代数式时，不是通过精心处理，让学生探索，而指出：“大家看一看字母与数字之间或字母与字母之间是什么运算？”就是启发过度的一种表现。因为如此一问，学生的主要活动变成了按照教师的要求进行思考，被老师牵着鼻子走，其思维的成分、创造发现的成分已所剩无几，更谈不上领悟和作出判断了。
总之，搞好启发式教学，就必须把领悟和判断作为启发式的主要特征，把启发原型作为启发的基础，及时创设并抓住启发的时机，准确把握启发的力度，才会启而得“法”、启而得“发”。
教学中，不论是教师讲解、提问、演示、实验、小结、复习解答疑难、布置练习，都要以各种方式启发学生积极思维，激发学生潜在的学习动机和学习兴趣，使之主动地、充满热情地参与学习活动。
