Question

如图，在梯形ABCD中，AD ∥ BC，AB=DC，点E在BC的延长线上，DE=DB．求证：AD=CE

如图，在梯形ABCD中，AD ∥ BC，AB=DC，点E在BC的延长线上，DE=DB．求证：AD=CE．

Answer 1

证法一：在梯形ABCD中，∵AD ∥ BC，AB=AC， ∴∠ABC=∠DCB（等腰梯形同一底上的内角相等）， ∠A+∠ABC=180°， 又∵∠DCE+∠DCB=180°， ∴∠A=∠DCE， ∵DB=BE， ∴∠DBC=∠E， ∵∠ADB=∠DBC， ∴∠ADB=∠E， 在△ABD和△CDE中， ∠ADB=∠E ∠A=∠DCE AB=DC ， ∴△ABD≌△CDE（AAS）， ∴AD=CE； 证法二：连接AC， 在梯形ABCD中，∵AD ∥ BC，AB=AC， ∴AC=BD（等腰梯形的对角线相等）， ∠ABC=∠DCB（等腰梯形同一底上的内角相等）， 在△ABC和△DCB中， AB=DC ∠ABC=∠DCB BC=CB ， ∴△ABC≌△DCB（SAS）， ∴∠ACB=∠DBC， ∵DB=BE， ∴∠DBC=∠E， ∴∠ACB=∠E， ∴AC ∥ DE， 又∵DE=BD， ∴DE=AC， ∴四边形ACED是平行四边形（一组对边平行的四边形是平行四边形）， ∴AD=CE．（平行四边形的对边相等）．