Question

已知向量 OA =（-1，2）， OB =（1，3）， OC =（3，m

已知向量 OA =（-1，2）， OB =（1，3）， OC =（3，m）．（1）若点A，B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件；（2）若点A，B，C构成直角三角形，且∠B=90°，求∠ACO的余弦值．

Answer 1

（1）∵ OA =（-1，2）， OB =（1，3）， OC =（3，m）． ∴ AB = OB - OA =（2，1）， BC = OC - OB =（2，m-3） ∵点A，B，C能构成三角形， ∴向量 AB 、 BC 不能共线，得2（m-3）≠1×2，所以m≠4， 即m满足的条件是m≠4 （2）∵ AB =（2，1）， BC =（2，m-3）且△ABC是以B为直角顶点的直角三角形 ∴ AB ? BC =2×2+1×（m-3）=0，解得m=-1 可得 OC =（3，-1）， ∴ CA = OA - OC =（-4，3）， CO =- OC =（-3，1）， 此时，cos∠ACO= CA ? CO | CA |?| CO | = -4×(-3)+3×1 (-4 ) 2 +(-3 ) 2 × 3 2 + 1 2 = 3 10 10 ， ∴∠ACO的余弦值等于 3 10 10 ．