Question

已知函数f（x）= alnx x+1 + b x ，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为

已知函数f（x）= alnx x+1 + b x ，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y-3=0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）如果当x＞0，且x≠1时，f（x）＞ lnx x-1 + k x ，求k的取值范围．

Answer 1

由题意f（1）=1，即切点坐标是（1，1） （Ⅰ） f′(x)= a( x+1 x -lnx) (x+1) 2 - b x 2 由于直线x+2y-3=0的斜率为 - 1 2 ，且过点（1，1），故 f(1)=1 f′(1)=- 1 2 即 b=1 a 2 -b=- 1 2 解得a=1，b=1． （Ⅱ）由（Ⅰ）知 f(x)= lnx x+1 + 1 x ，所以 f(x)-( lnx x-1 + k x )= 1 1- x 2 (2lnx+ (k-1)( x 2 -1) x ）． 考虑函数 h(x)=2lnx+ (k-1)( x 2 -1) x （x＞0），则 h′(x)= (k-1)( x 2 +1)+2x x 2 ． （i）设k≤0，由 h′(x)= k( x 2 +1)-  (x-1) 2 x 2 知，当x≠1时，h′（x）＜0．而h（1）=0，故 当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，可得 1 1- x 2 h(x)＞0 ； 当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，可得 1 1- x 2 h（x）＞0 从而当x＞0，且x≠1时，f（x）-（ lnx x-1 + k x ）＞0，即f（x）＞ lnx x-1 + k x ． （ii）设0＜k＜1．由于当x∈（1， 1 1-k ）时，（k-1）（x 2 +1）+2x＞0，故h′（x）＞0，而 h（1）=0，故当x∈（1， 1 1-k ）时，h（x）＞0，可得 1 1- x 2 h（x）＜0，与题设矛盾． （iii）设k≥1．此时h′（x）＞0，而h（1）=0，故当x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，可得 1 1- x 2 h（x）＜0，与题设矛盾． 综合得，k的取值范围为（-∞，0]