Question

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D。求证：（1）∠AOC=2∠ACD；（2）AC

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D。求证：（1）∠AOC=2∠ACD；（2）AC 2 =AB·AD。

Answer 1

证明：（1）∵CD是⊙O的切线， ∴∠OCD=90°， 即∠ACD+∠ACO=90°， ∵OC=OA， ∴∠ACO=∠CAO， ∴∠AOC=180°-2∠ACO， 即 ∠AOC+∠ACO=90°， ∴∠ACD- ∠AOC=0， 即∠AOC=2∠ACD；
（2）如图，连接BC， ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， 在Rt△ACD与△RtABC中， 由（1）∠AOC=2∠ACD， 又∵∠AOC=2∠B， ∴∠B=∠ACD， ∴△ACD∽△ABC， ∴ ， 即AC 2 =AB·AD。