Question

已知函数 f(x)=x+ 1 x ：（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；（2）判断并证明f（x）在区间（1

已知函数 f(x)=x+ 1 x ：（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；（2）判断并证明f（x）在区间（1，+∞）上的单调性．

Answer 1

（1）函数 f(x)=x+ 1 x 为奇函数，理由如下： 由已知函数的解析式 f(x)=x+ 1 x 可得函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称 又∵ f(-x)=-x+ 1 -x = -(x+ 1 x ) =-f（x） ∴函数 f(x)=x+ 1 x 为奇函数 （2）f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，理由如下： 任取x 1 ，x 2 ∈（1，+∞），且x 1 ＜x 2 ， ∴x 1 -x 2 ＜0，x 1 ?x 2 ＞1，x 1 ?x 2 -1＞0， 又∵f（x 1 ）-f（x 2 ）= x 1 + 1 x 1 -（ x 2 + 1 x 2 ）= x 1 -x 2 + 1 x 1 - 1 x 2 = x 1 -x 2 - x 1 - x 2 x 1 ? x 2 = (x 1 -x 2 )?(1- 1 x 1 ? x 2 ) = (x 1 -x 2 )? x 1 ? x 2 -1 x 1 ? x 2 ∴f（x 1 ）-f（x 2 ）＜0 即f（x 1 ）＜f（x 2 ） 故f（x）在区间（1，+∞）上为增函数．