Question

已知：如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC与E，AE=2，ED=4。（1）求证：△ABE∽△ADB；（2）求AB的长；

已知：如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC与E，AE=2，ED=4。（1）求证：△ABE∽△ADB；（2）求AB的长；（3）延长DB到F，使BF=OB，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由。

Answer 1

解：（1）∵在⊙O中，AB=AC， ∴ （在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等） ∴∠ABC=∠D（相等的弧所对的圆周角相等） ∵∠BAD=∠BAE ∴△ABE∽△ADB（如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）； （2）∵△ABE∽△ADB ∴ ∵AE=2，ED=4 ∴AB=2 ； （3）直线FA与⊙O相切 证明：连接AO， ∵BD为⊙O的直径， ∴∠BAD=90°（直径所对的圆周角是直角） ∴在Rt△ABD中，AB 2 +AD 2 =BD 2 ∴BD=4 ∴OB=2 ∵BF=OB，AB=2 ∴AB=OB=BF ∴∠FAO=90°（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形） ∵OA为半径， AF为⊙O切线（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）。