Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且垂直于底面 ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且垂直于底面 ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，M为PC上一点，且PA∥平面BDM．(Ⅰ)求证：M为PC的中点；(Ⅱ)求证：面ADM⊥面PBC。

Answer 1

证明：(Ⅰ)连接AC，AC与BD交于G，则面PAC∩面BDM=MC， 由PA∥平面BDM，可得PA∥MC， ∵底面ABCD为菱形， ∴G为AC的中点， ∴MC为△PAC的中位线，因此M为PC的中点．
(Ⅱ)取AD中点O，连接PO，BO， ∵△PAD是正三角形， ∴PO⊥AD， 又因为平面PAD⊥平面ABCD， 所以，PO⊥平面ABCD， ∵底面ABCD是菱形且∠BAD= 60°，△ABD是正三角形， ∴AD⊥OB， ∴OA，OB，OP两两垂直，建立空间直角坐标系 ， 则 ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴DM⊥BP，DM⊥CB， ∴DM⊥平面PBC， 又DM 平面ADM， ∴面ADM⊥面PBC。